关于变位系数对齿轮副承载能力、噪声、振动特性的影响机理，国内外有大量研究成果。Franulovi等人验证了变位系数与齿轮啮合的接触关系，证明了高接触齿轮副在轻量化设计方面的优势；Kimme等人模拟了齿轮副的低噪声特性，表明通过调整变位系数可部分消除工艺误差造成的啮合影响；刘学明研究了变位系数对渐开线齿轮副传动性能的影响，并介绍了变位系数分配和极值的确定原则，提出针对具体失效形式来选择合适的变位系数；杨语基于齿轮副最小和最大滑动率趋于相等的原则，建立了数学模型，对比分析变位系数优化前后的齿轮副滑动率曲线、抗胶合承载能力等，研究了变位系数对抗胶合性能的影响。

变位齿轮设计的关键是正确选择变位系数。变位系数的调整会影响齿轮滑动率，进而影响齿轮传动效率、磨损、噪声和寿命等性能。对于以磨损、胶合和齿面点蚀为主要失效形式的齿轮，为了降低齿面接触应力和齿面磨损，通常按照滑差率均衡原则选取合适的变位系数，可有效降低齿轮副相对滑动，使两齿轮磨损程度近似，进而降低齿轮振动。在齿面接触应力计算公式的众多系数中，节点区域系数考虑了齿廓曲率半径对接触应力影响。采用正变位时，齿顶高增加、齿根厚减小，易造成齿顶变尖、齿根变薄，齿廓曲率半径随之增大，啮合角与节点区域系数减小，进而降低齿面接触应力。但由于齿顶和齿根的相对滑动增加，滑动率增大，导致齿面磨损加剧且噪声增加，需要通过适当分配变位系数x₁、x₂，使两齿轮的最大滑动率相等，降低齿面间的相对滑动，提高齿轮的抗胶合和耐磨损能力。

关于变位系数的选择方法，各行业根据应用齿轮特点选择变位系数的方法各不相同。工程实践中应用较多的有线图法、DIN法和封闭图法等，普遍存在选取周期长、精确度不够的问题。本研究在Excel中进行VBA编程二次开发，基于滑动率均衡原则，通过迭代计算求解变位系数的优化分配方案，使两齿轮最大滑动率相等或接近相等。分别利用本研究中的计算工具和KISSsoft对10组球磨机、回转窑等开式齿轮副和减速器齿轮副进行变位系数设计计算，经比较，两者计算结果基本一致，证明了该计算工具准确可靠，可显著提升齿轮设计效率。

滑动率是啮合点位置的函数，即啮合点压力角(或压力角与啮合角)的函数。通常齿轮齿根处的滑动率大于齿顶处的滑动率，在其他参数不变的情况下，通过调整变位系数，可使主、从动齿轮齿根处的滑动率相等，这是等滑动率设计的基本思想，以期达到主、从动齿轮同步磨损的目的。齿轮变位系数的解析法计算步骤如下。

(1)根据中心距a′、传动比u和传动方案，轴向重合度ε_β≥1.2，初选齿轮模数m_n、螺旋角β、小齿轮齿数z₁及大齿轮齿数z₂。

对于硬齿面齿轮，齿轮法向模数由强度计算或结构设计确定。在0.018~0.025范围内取相等或较大的标准值，即

通常，单斜齿轮的β为8°~15°。

(2)根据初选齿形参数，计算啮合角α_wt和总变位系数x_∑。

式中：α_t为分度圆端面压力角。

(3)计算齿轮副的最大滑动率，选择合适的变位系数，使两齿轮的最大滑动率接近相等。

斜齿轮传动中，小齿轮的最大滑动率

大齿轮的最大滑动率

式中：α_at为齿顶压力角。

在Excel基础上进行VBA编程二次开发，构建滑动率与变位系数的非线性方程组，通过采用牛顿迭代法计算求解获得齿轮副滑动率差相等的变位系数分配方案，迭代计算流程如图1所示。

图1 迭代计算流程

(1)在Excel表格中，输入配对齿轮的参数：中心距a′、传动比u、螺旋角β、分度圆压力角α_n、齿顶高系数h_a*和顶隙系数c*。

(2)构建滑动率与变位系数的非线性方程组，求得齿数z₁、z₂以及总变位系数。

(3) 迭代求解齿轮副滑动率相等的变位系数组合。程序随机生成初始变位系数，计算两齿轮最大滑

动率，将两者之差作为迭代目标，不断调整变位系数进行迭代计算，迭代精度取0.0001，直至满足滑动率差Δη趋近于0，获得变位系数的最优分配方案。

以某项目φ6.8m×(4.6+9.2)m球磨机减速器为例，选取一对外啮合的圆柱斜齿轮副，基本参数如下：中心距a′=860mm，传动比u=2.65，模数m_n=18mm，螺旋角β=9°，分度圆压力角α_n=20°，齿顶高系数h_a*=1，顶隙系数c*=0.4，初步配齿z₁=20，z₂=73。经VBA程序迭代，变位系数结果x₁=0.4433，x₂=0.2912；在KISSsoft齿轮传动计算模块输入齿轮副参数，打开软件的变位系数分配对话框，选择“for optimal specifics liding”(等滑动率原则)进行变位系数分配，得到x₁=0.4432，x₂=0.2913；两者计算结果偏差为0.0001。

分别通过VBA程序和KISSsoft计算对变位系数进行分配。齿轮副变位系数计算结果对比如图2所示，两组结果偏差不超过0.0002，鉴于目前的齿轮加工精度，此偏差可忽略不计。由此证明，此VBA程序计算结果准确可靠。

图2  计算结果对比

采用变位齿轮除了避免齿轮产生根切、配凑中心距以外，还影响齿轮的强度、运转平稳性、耐磨性、抗胶合能力及传动噪声。因此，变位系数的选择是齿轮设计中一个非常重要的环节。对于以磨损、胶合和齿面点蚀为主要失效形式的齿轮，应按等滑动率的原则来分配变位系数。本研究通过在Excel表中进行VBA编程迭代计算，最终获得齿轮变位系数最优解，并经齿轮专业设计软件KISSsoft验证，结果准确可靠。在没有专业齿轮设计软件的情况下，该计算程序可用于指导齿轮的参数化设计，提高工作效率。