大齿轮制造成本高，在使用过程中需定期测量跨棒距以检查齿轮的磨损程度，进而判断其使用寿命。以渐开线直齿轮为研究对象，提出一种采用单测头实现自动化检测齿轮跨棒距的方法，分析齿轮安装偏心对测量结果的影响，建立齿轮安装偏心的最小二乘分离算法和误差补偿模型。通过模拟仿真和实验分析，验证误差补偿算法的正确性和测量方法的可行性。跨棒距测量实验结果表明，单测头测量方法可用于大齿轮跨棒距的高效自动化测量。

大齿轮广泛应用于能源电力、矿山冶金、发电机组等领域，是大型设备的关键零部件 。由于其工作环境恶劣，而且工作方式多为开式低速重载传动，大齿轮所受冲击载荷很大，容易磨损，因此需要定期检查齿轮的磨损程度，对磨损严重的齿轮进行修复，从而降低成本，提高生产效率。 

齿厚是齿轮设计与制造中的重要参数之一，其尺寸的准确性对齿轮的传动精度有很大影响 。目前主要用跨棒距测量方法间接测量分度圆齿厚。因此，可以通过测量齿轮的跨棒距来检查齿轮的磨损程度，从而判断齿轮能否正常工作。传统跨棒距的测量是选择两根直径相等的量棒放入齿轮相对的齿槽内，通过千分尺等量具测量两量棒之间的距离。刘永平等设计了一种非圆齿轮的跨棒距测量装置，一侧量棒由夹具固定在任意齿槽，通过控制齿轮旋转与另一侧量棒移动速度相匹配，可实现非圆齿轮跨棒距的测量。刘万利等采用三坐标机测量法，先测量齿轮的轴线基准并建立轴心坐标系，再通过三坐标机的计算机编程计算出齿轮跨棒距的值。周勇等提出通过配有CCD光学测量系统的复合式三坐标机来测量直齿圆柱齿轮跨棒距。该坐标机专用测量软件结合CCD镜头可以将被测齿轮的影像放大并成像于测量软件的影像窗口中，通过测量软件模拟构建理论圆棒直径圆与齿轮两侧齿相切，最后由测量软件自动计算得出齿轮跨棒距值。使用量具测量跨棒距操作比较复杂，而且容易受到人为因素的影响；三坐标测量法测量效率较低，对环境要求高；CCD测量法测量精度较低，适用于中小型齿轮。

目前的齿轮跨棒距测量方法和测量设备均难以满足大齿轮跨棒距高效、自动化测量的要求。因此，本文以渐开线直齿圆柱齿轮为研究对象，提出了一种单测头测量方法完成大齿轮跨棒距的自动化测量。具体而言，由于大齿轮在测量过程中对心操作比较困难，齿轮中心线和旋转工作台的回转中心往往不重合，即出现齿轮安装偏心的现象，对测量结果影响较大，采用直接调整偏心的方法操作困难又费时。本文分析大齿轮安装偏心对测量结果的影响，并对测量数据进行偏心补偿计算，从而消除测量误差。

本文的研究对象为渐开线直齿轮，跨棒距理论值的计算原理如图1所示，图1a所示为奇数齿的计算原理，图1b所示为偶数齿的计算原理。

图1 齿轮跨棒距计算原理

齿轮理论跨棒距M₀的计算公式为

对于奇数齿，有

对于偶数齿，有

式中，D为量棒直径；m为模数；z为齿数；α为分度圆压力角；α_Mt为量棒中心圆的压力角。 

α_Mt的求取公式为

图2 跨棒距自动测量原理

跨棒距自动化测量原理如图2所示，被测齿轮安装在旋转工作台上，旋转角度通过转台上的圆光栅测量，测头位移通过直线光栅和笔式位移传感器测量。根据被测齿轮参数确定的测球直径为D，跨棒距理论值为M₀，则测量过程中测球球心到齿轮几何中心的理论距离为r₀，计算公式为

测头测量得到相对方向两个齿槽处r₀的变化量（若为奇数齿，旋转到径向相对位置错开半个齿距的齿槽处）分别为ΔR₁和ΔR₂，有

式中，R₁和R₂为测头测量直径相对方向的两个齿槽时，测球球心与齿轮几何中心的实际距离。 

通过计算可得到齿轮跨棒距的测量值M，对于偶数齿，有

对于奇数齿，有

齿轮偏心情况下跨棒距测量原理如图3所示，O₁和O₂分别为精密旋转工作台的回转中心和大齿轮的几何中心，O₁点与O₂点之间的距离e为偏心距，O₁P与O₁O₂的夹角为偏心角θ。测球球心到O₂点的理论距离为r₀，其数值可通过式（4）计算得到。A为测球球心位置，P为测球球心的测量起始位置，每转过一个齿距的角度测量一次，记测量起始位置齿槽为1号齿槽。测量i号齿槽时，测球球心到O₂点的距离为ri。设O₁A=R_i，测量i号齿槽时齿轮顺时针方向旋转角度为φ_i，测量数据为R_i相对于r₀的变化量ΔR_i。设δ_i为r_i相对于r₀的变化量，则δ_i为无偏心时测量数据，显然有

由图3中几何关系得

因为e≪r_i，所以第二项可以近似用r_i代替，式（8）可以简化为

即测量数据中附加了安装偏心引起的测量误差，已知偏心距e和初始偏心角θ，可以通过式（8）补偿偏心对测量数据的影响。

图3 大齿轮安装偏心测量示意图

在实际测量过程中，测量结果受到齿轮偏心的影响，因此要对测量结果进行偏心误差的分离计算。采用最小二乘法对测量结果进行数据拟合计算，得到偏心距e和初始偏心角θ的估计值。 

假设图3中O₂点为最小二乘法拟合圆的圆心。由图3可知，O₂点的坐标(a，b)为

由式（9）和式（10）得

因为测量数据为R_i相对于r₀的变化量ΔR_i，且拟合圆半径相对于理论距离r₀存在误差，设误差值为Δr，则有

将式（12）代入式（11）得

则根据最小二乘法构造目标函数为

要使f(a，b)最小，则f(a，b)的偏导数都为0，即

解得

式中，e为安装偏心的幅值；θ为安装偏心的相角。将e和θ代入式（8）可得补偿齿轮安装偏心影响的测量结果。

由式（16）和式（17）计算出偏心幅值e和初始相位角θ，代入式（8）得

当被测齿轮为偶数齿时，设r_a和r_b在同一直径上的两个齿槽上，角度分别为φ_a和φ_b，测量数据分别为ΔR_a和ΔR_b，由式（18）得

则偶数齿齿轮跨棒距M_o为

当被测齿轮为奇数齿时，设r_c和r_d的夹角为π-πz（z为被测齿轮的齿数），测量角度分别为φ_c和φ_d，测量数据分别为ΔR_c和ΔR_d，由式（18）得

则奇数齿齿轮跨棒距M_j为

为了验证大齿轮安装偏心补偿算法的准确性，采用MATLAB软件进行偏心补偿算法的仿真实验验证。设被测齿轮模数为10，齿数为60，计算可得测球直径为16.88mm，齿轮跨棒距理论值为622.8591mm，测球球心到齿轮几何中心的理论距离r₀=302.9896mm。设偏心距e=4mm，偏心距与起测点的夹角为30°。根据式（7）和式（8）可用MATLAB软件模拟齿槽的径向半径变化值ΔRi，δi的数值通过rand函数随机生成，具体计算公式为

式中，i=1，2，⋯，59（i为齿槽编号）。已知模拟测量数据ΔR_i和φ_i，根据式（16）和式（17）可得安装偏心计算值为

补偿前后的模拟测量数据如图4a所示，由于被测齿轮安装偏心的影响，未补偿的数据ΔR_i在坐标系中为类似正弦的曲线，范围为-4030µm≤ΔR_i≤4030µm。将安装偏心计算值代入式（18）中，可求得偏心补偿后的数据值Δr_i。由图4a仿真结果可见，补偿齿轮安装偏心的影响之后，模拟数据值接近一条直线，理论上变化范围为-30µm≤Δr_i≤30µm。

MATLAB软件模拟的无偏心数据与偏心补偿后数据对比如图4b所示。由图4b仿真结果可知，偏心补偿后模拟数据与无偏心模拟数据最大绝对误差为4.7620µm。

图4 模拟径向变化量对比

假设每隔60°对模拟数据进行取样，从而可计算出3个跨棒距M的值。同理可得e=6mm，e=8mm，e=10mm的跨棒距仿真结果，则不同偏心情况下补偿前后齿轮跨棒距值仿真结果如表1所示。

表1 补偿前后的跨棒距仿真结果对比

由表1可知，偏心量越大，测量得到齿轮跨棒距值的误差越大。补偿前齿轮跨棒距值与无偏心跨棒距值的绝对误差最大为0.3302mm，而偏心补偿后的跨棒距与无偏心跨棒距值的绝对误差最大为0.0002mm，证明了偏心补偿算法的有效性。 

根据上述测量方法和理论模型，搭建齿轮跨棒距测量实验装置，如图5所示，通过测量径向跳动计算齿轮的跨棒距，并进行齿轮安装偏心误差补偿实验。测头在齿轮切向上安装有平面柔性铰链导向机构，使测球对正齿槽并与其两侧面紧密接触，测头的位移变化量通过直线光栅进行测量，齿轮的旋转角度通过圆光栅测量。该装置采用的Renishaw直线光栅配有RGH20型读数头，测量范围内的精度为1µm。齿轮型号为6DP-63T-SOS-1.750″FW，参数如表2所示。

图5 齿轮跨棒距测量实验装置

表2　被测齿轮基本参数

由表2可知，被测齿轮图纸规定的测球直径为7.3152mm。因为该固定尺寸的钢球不易加工或采购，需选择一个直径相近的测球代替。根据测球直径的偏差ΔD，可由微分关系推导出跨棒距的偏差，则测球直径改变后跨棒距M₁计算公式为

式中，M_s为测球直径为7.3152mm对应的跨棒距。实验采用的测球直径为7mm，由式（1）计算得测球直径为7mm时跨棒距理论值为275.7485mm。实验采用的测球直径相对于图纸规定量棒直径的变化量ΔD=-0.3152mm，则由式（21）可得测球直径为7mm时跨棒距的上、下极限尺寸分别为275.4989mm和275.5980mm，该齿轮的跨棒距应为

实验中采用测量圆盘形标准件的方法确定测球的相对零位，以反映被测齿轮理论跨棒距尺寸。将圆盘形标准件安装在转台上，测头测量标准件，将此时直线光栅读数调零。然后对被测齿轮每个齿槽进行测量，得到的测量数据为相对位移量ΔR_i，共进行3组测量实验。齿轮的偏心量可通过测量齿轮齿顶圆得到，与采用偏心分离算法计算的偏心量进行比较。 

实验1：将齿轮放置在精密转台上，通过测板测量齿顶圆，记录3圈采样数据，如图6a所示，可知齿顶圆径向跳动的最大值和最小值，从而计算得到齿轮的偏心量。通过测球对齿轮齿槽进行测量，第一个齿槽测量角度记为0°，重复测量3圈，测量结果如图6b所示。

图6 实验1齿顶圆和齿槽测量结果

实验2：调整齿轮位置，使其偏心与实验1不同，通过测板测量齿顶圆，测量数据如图7a所示。从实验1记录的初始角度位置开始测量一圈齿槽，测量结果如图7b所示。

图7 实验2齿顶圆和齿槽测量结果

实验3：继续调整齿轮位置，使其偏心增大，齿顶圆测量数据如图8a所示。同理，从0°位置开始测量一圈齿槽，测量结果如图8b所示。

图8　实验3齿顶圆和齿槽测量结果

将齿槽径向变化量测量数据代入式（16）和式（17），计算可得3组实验的偏心量和初始偏心角度，与板形测头测量偏心量对比如表3所示。 

表3　偏心测量结果和计算结果对比

根据表3中偏心量和偏心角度计算值进行偏心补偿计算，可得偏心补偿后的齿槽径向变化量测量数据，则3组实验补偿后的齿槽径向变化量测量数据如图9所示。

图9 补偿后3组实验齿槽测量结果对比

根据齿槽径向变化量测量数据计算每对齿槽的跨棒距值，可得3组实验的补偿前后跨棒距值，如图10所示，图中两条直线为该齿轮跨棒距的上、下极限尺寸。3组实验补偿后跨棒距如图11所示，由于齿槽测量误差影响，部分跨棒距测量值在公差范围外。

图10 3组实验补偿前后跨棒距对比

图11 3组实验补偿后跨棒距对比

表4所示为3组实验补偿后跨棒距值，补偿后齿轮跨棒距最大值为275.6114mm，最小值为275.4478mm。根据GB/T13924—2008可知，以实验中各个测量位置的跨棒距测量值的算术平均值作为测量结果。已知被测齿轮跨棒距的上、下极限尺寸为275.5980mm和275.4989mm，由表4可知3组实验测量结果均在跨棒距公差范围之内。

表4　补偿后跨棒距测量结果

3组实验共测量32对齿槽的跨棒距，每对齿槽跨棒距测量5次。根据JJF1059.1—2012可知，测量过程的实验标准偏差计算公式为

式中，s_p为合并样本标准偏差；s_j为第j对齿槽跨棒距的实验标准偏差；m为齿槽对数，m=32。

根据式（22）可得偏心补偿后实验标准偏差s_p=0.0118mm，小于图纸规定跨棒距公差的1/8，说明测量结果的重复精度较高。

跨棒距是判断齿轮工作寿命的核心指标之一，本文提出了单测头测量径跳值的方法计算跨棒距，从而实现大齿轮跨棒距高效自动化测量。针对齿轮安装偏心对测量结果的影响，建立了偏心分离和误差补偿模型，通过数值仿真和测量实验分析，验证了偏心误差补偿模型的准确性。实验结果表明，本文提出的单测头测量方法可实现大齿轮跨棒距的快速自动化测量。