成形磨削内斜齿轮在齿向修形过程存在齿面原理性加工误差。为进一步提高成形磨齿的齿面加工精度，建立加工运动误差模型，提出误差控制方法。

基于数控成形磨齿机建立成形砂轮与内斜齿轮的空间啮合坐标系，求解成形砂轮与齿面接触方程和齿向修形运动轨迹；分析多轴附加运动对齿廓斜率偏差的影响和砂轮安装角对修形齿面接触线的影响；建立齿面磨削误差模型，为了控制齿面误差，提出中和左、右两齿面误差的误差控制方法并编制成形磨削齿向精度补偿软件，计算齿向精度调整参数，对多轴附加运动量进行补偿，提高修形齿面的成形磨削精度。

最后，进行修形内斜齿轮成形磨削试验。结果表明：利用开发的成形磨削齿向精度调整软件对齿面误差进行补偿，左、右两齿面齿向精度均达到６级，比调整前高，验证了齿向精度补偿的有效性。

  前   言

齿轮是应用最广泛的传动装置，随着科技的发展，高端装备对齿轮精度的要求越来越高。齿向修形可以改善载荷分布不均匀的情况，提高齿轮的载荷能力。

然而，当数控机床磨削加工内斜齿轮时，多轴附加运动会引起齿面加工误差，产生齿面扭曲现象。因此，为了提高齿面加工精度，需要分析齿向修形内斜齿轮齿向误差的产生机制及对其进行补偿。

针对修形齿面加工误差的补偿，已有很多学者进行了研究。吴序堂等阐述了齿面成形磨削建模及修形的相关核心理论。阳辉等分析了砂轮半径和安装角度对齿向修形接触线的影响规律，并对齿面修形扭曲误差进行补偿。

何坤等分析了多轴附加运动对修形齿面精度的影响规律，提出一种多轴附加运动优化的齿面扭曲消减方法。汪中厚等建立鼓形修形斜齿轮误差评价模型，提出一种高精度构建齿向修形齿面的方法。SHIH和CHEN在数控成形磨齿机上，通过多轴附加运动实现了对齿向修形齿面的修正，但没有分析各轴附加运动对齿面误差的影响规律。

郭二廓等基于成形磨齿齿向修形误差的数学模型，提出一种基于调整砂轮和工件安装参数的接触线优化方法张虎等以实际齿面拓扑偏差为优化目标，以机床运动多项式系数为优化参数，建立优化模型，得到机床五轴运动。可见，在实际磨齿加工中，仅根据计算理论对齿面加工误差进行分析无法满足齿面的精度要求。为进一步提高齿向修形精度，需对加工机床进行误差补偿。

针对数控机床成形磨削内斜齿轮齿向修形时产生的齿面加工误差问题，本文作者在分析机床多轴附加运动误差与齿面误差耦合关系的基础上，建立修形齿面误差模型，并对其进行误差补偿，通过磨齿试验验证补偿方法的有效性。

内斜齿轮成形磨削齿向修形轨迹计算

建立成形磨削运动模型：

采用数控成形磨齿机床进行内斜齿轮的成形磨削。如图1所示，机床共有6个轴，即x、y、z 3个直线运动轴和A、B、C 3个旋转运动轴。砂轮架可沿z向和y向移动，砂轮臂安装在砂轮架上随A轴转动，成形砂轮安装在砂轮臂上随Ｃ轴旋转进行切削运动。回转工作台可沿x轴移动，工件安装在B轴上随B轴转动，B轴和z轴的插补运动可实现齿向螺旋运动。

图 １ 数控成形磨齿机床结构

分析机床结构和相对运动关系，建立成形磨削的空间啮合坐标系，如图２所示，坐标系s₁和s_t分别与齿轮和砂轮固联。齿轮绕z₁轴旋转φ₁，γ_ｍ为砂轮安装角，E_tp⁽⁰⁾为砂轮与齿轮间的中心距，加工中齿轮轴向的移动距离为L_t。

图 ２ 成形磨齿空间啮合坐标系

基于成形磨齿的加工原理以及渐开线螺旋齿面的形成过程，设齿面在s₁-x₁y₁z₁和s_t-x_ty_tz_t内的参数方程为：

式中：(ｕ，θ)为齿面曲线参变量；φ₁为工件旋转角。

根据成形磨齿空间啮合原理得到齿面与成形砂轮的啮合关系，将齿面参数方程由齿轮坐标系sa齐次变换到砂轮坐标系s_t为：

式中：

接触线及砂轮廓形求解：

砂轮回转面与被加工齿轮螺旋面是一对共轭曲面，在磨削加工的任意时刻，砂轮回转面与齿面上同时存在一条接触迹线。根据齿面共轭原理，接触迹线的矢量r_t、单位法向量n_t和砂轮轴线y_t共面，Σ为砂轮轴线与齿轮轴线的夹角，如图3所示。

图３ 砂轮与齿面接触线示意

在磨削过程中，砂轮与齿面接触条件的表达式为：

接触线的单位法向量n_t为：

接触迹线为一条空间曲线，其在砂轮轴截面o_t-x_ty_t上的投影即为砂轮截面廓形。 则砂轮轴截面的廓形表达式为：

齿向修形时砂轮磨削运动轨迹：

齿向修形是通过成形砂轮在齿面轴向运动轨迹上附加径向运动 (x轴的运动)及齿轮绕自身轴线的附加转动(B轴的运动)来改变加工齿面廓形，以实现齿向修形。附加径向运动轨迹采用抛物线的形式，如图4所示。齿向方向的修形量用ΔE表达，齿宽为ｌ，加工中齿轮的转角为θ，其变化范围由工件参数确定。

当砂轮沿被加工齿轮轴向运动时，径向进给量用ΔE为：

式中：am1为齿向修形系数；θi(i＝a、b、c、d)为齿向方向上各点的齿轮转角。

图４ 齿向修形(ａ)及其曲线(ｂ)

多轴附加运动对修形齿面加工误差影响分析

多轴附加运动对齿面误差的影响:

ｘ轴附加运动对齿面误差的影响:

ｘ轴为齿轮径向直线运动轴，齿向修形通过在砂轮运动轨迹上叠加ｘ轴附加运动而产生，同时齿轮端截面廓形在ｘ轴方向也产生位移，如图5(ａ)所示。其中，曲线ｌ1为标准渐开线齿廓，曲线ｌ2为修形后端 截面廓形，设齿向修形量在端截面分度圆处的偏移量为Δxr，x轴方向的偏移量为Δx。

由于渐开线上不同位置点的压力角不同，沿ｘ轴偏移后，各点法向偏移量也不同。而内斜齿轮齿面齿顶到齿根处的压力角渐变，所以齿顶处偏移量Δxa与齿根处偏移量Δxf不同，从而引起加工后齿廓倾斜偏差。由x轴附加运动引起的齿廓倾斜偏差为：

Ｂ轴附加运动对齿面误差的影响：

Ｂ轴附加转动是将齿轮廓形绕齿轮轴线旋转角度Δb，只引起齿廓相位的改变，不影响齿廓形状和压力角。图5(ｂ)中，曲线ｌ4为曲线ｌ3绕B轴旋转Δb后的端面齿廓形状；ra和rf分别为内斜齿轮齿顶圆半径和齿根圆半径。由于Δb很小，可用弧长表示曲线上的法向偏移量。由B轴附加运动引起的齿廓倾斜偏差为：

内斜齿轮螺旋线加工的实质是成形砂轮在齿槽中做螺旋运动，该运动由砂轮沿齿轮轴向上下移动和工件转台回转运动插补而成。通过分析齿轮成形磨削z轴运动参数可得到齿轮转动角度CB与齿宽ZB间的关系为：

式中： ZB为加工齿面轴向移动距离；β为螺旋角；r为分度圆半径。

图５ ｘ 轴(ａ)和Ｂ轴(ｂ)附加运动对齿面误差的影响

砂轮安装角控制接触线形态引起的齿面误差:

实际加工中，当确定加工齿轮参数时，可以通过调整砂轮的安装参数来控制接触线的形态，从而提高成形磨削齿向修形的精度。以图6中设定的齿轮参数为例，通过改变砂轮安装角度可得到接触线形态随砂轮安装角的变化规律。

图６中砂轮安装角不再符合Σ＝β，而是在不产生磨削干涉的条件下增加了附加偏转角±(１～２)°。在添加的偏转角度范围内，对于右旋内斜齿轮，随着砂轮安装偏转角的减小，接触线在齿面上沿齿向方向的长度减小，接触线在左右齿面的偏离程度由近到远增长；反之，增大砂轮安装偏转角时，接触线在齿面上的长度增加且更加弯曲。

图６ 齿面接触线形态变化

综上可知，改变砂轮安装偏转角可优化齿面接触线的形态，同时配合工件预设定的安装参数，可提升齿向修形精度。

磨削齿面误差模型构建与补偿

齿面误差模型构建:

在齿轮磨削加工过程中，齿向误差主要受机床自身运动等因素的影响。由于机床多轴附加运动误差的存在，砂轮沿齿槽螺旋运动和齿轮分度回转运动间的插补不协调，导致齿轮的螺旋线出现偏差，图7所示为存在机床附加运动误差的齿向加工。

图７ 机床附加运动误差的齿向加工

以表1中修形内斜齿轮的参数为例，借助MAT⁃ LAB进行数值模拟分析，建立理论修形齿面的数学模型， 如图８所示Z轴表示齿向方向，Ｙ轴和Ｘ轴分别表示齿高径向和切向方向。

表１ 内斜齿轮的基本参数

图８ 齿轮理论齿面及磨削接触线

理论上，在磨齿加工内斜齿轮过程中，成形砂轮同时加工左右齿面，所以对齿向进行修形时，两端齿面的修形量相等且对称分布。而数控成形磨齿机对内斜齿轮进行磨削加工时，由于存在多轴附加运动误差，导致修形后的齿面产生扭曲现象，即一侧齿面齿顶和齿根产生过修和欠修现象，而另一侧情况相反。通过对比齿向修形实际齿面与理论齿面可以评价齿面磨削误差，左右齿面磨削的误差如图9所示。

图９ 左右齿面磨削误差

提高齿向精度的方法:

在成形磨削加工过程中，成形砂轮同时磨削加工齿轮的左右齿面，当其中一侧齿面由加工误差引起齿向误差时，另一侧齿面也随之变化。补偿齿面时应兼顾左右两齿面，因此文中采用中和左、右两齿面误差的补偿方法，即对于齿向误差严重的一侧减少补偿，对于齿向误差轻微的一侧增加补偿，从而达到提高齿向精度的目的。

假设检测内斜齿轮齿向精度时，齿向的有效长度为Ｄ1，左、右齿面的齿向倾斜偏差分别为fＨβL和fＨβR。根据检测结果对机床多轴运动误差进行补偿，齿轮螺旋线角度的调整量为βg，齿轮摆动角度的调整量为CBg，表达式为：

基于上述分析，以内斜齿轮为研究对象，借助MATLAB开发齿向修形补偿软件，其界面如图10所示。界面输入参数为：齿轮齿向测量位置；左、右齿面齿向倾斜偏差。通过输入齿轮上端面和下端面的测量数值以及左、右齿面齿向的倾斜偏差，计算磨削头的调整量，以实现两侧齿面的补偿。

图１０ 齿向精度调整界面

磨齿加工试验及检测

成形磨齿加工试验依托西门子数控系统YK7350数控磨齿机，对表1中所列参数的齿轮进行成形磨削加工，内斜齿轮磨齿加工如图11所示。试磨加工后在Gleason650GMS检测中心检测齿轮精度，如图12所示。

 图11 磨齿加工     图12 Gleason650GMS检测

对齿轮进行一次试磨加工后，沿齿轮一周抽取1号、20号、40号、60号齿左、右齿面进行齿面检测，结果如图13所示。表2为左、右齿面齿向总偏差和齿向倾斜偏差。可知：左齿面齿向总偏差Fβ均值为8.6μｍ，齿向倾斜偏差fＨβ均值为-2.3μｍ，齿向精度为7级；右齿面齿向总偏差Fβ均值为5.4μｍ，齿向倾斜偏差fＨβ均值为-4.7μｍ，齿向精度为６级。

图13 调整前齿向检测结果

表2 调整前左、 右齿面实测齿向偏差

根据齿向检测报告，采用齿向精度调整软件计算机床误差补偿值并进行磨削加工，调整后的检测结果如图14所示。表3为左、右齿面齿向总偏差和齿向倾斜偏差。可知：左齿面齿向总偏差Ｆβ均值为4.3μｍ，齿向倾斜偏差fＨβ均值为-2.6μｍ，齿向精度为6级；右齿面齿向总偏差Fβ均值为10.0μｍ， 齿向倾斜偏差fＨβ均值为-6.0μｍ，齿向精度为6级，齿面精度提高。

图14 调整后齿向检测报告

表3 调整后左右齿面实测齿向偏差

  结   论 

（１） 依据成形磨削原理，分析成形磨削加工过程中机床的运动关系，推导出修形齿轮齿面方程，建立成形砂轮与齿面的接触条件方程，得到成形砂轮轴 截面廓形坐标点。

（２） 通过数值分析建立机床多轴附加运动误差与齿面偏差之间的耦合关系，通过成形磨齿加工试验进行验证。 

（３） 根据测量中心齿面检测报告，利用开发的成形磨削齿向精度调整软件对齿面误差进行补偿，提高了齿轮齿面精度。

参考文献：略。

作者简介：张祥（1966一），男，硕士研究生，研究方向为内斜齿轮建模与成形磨削数控加工。