随着面齿轮传动技术的不断推广应用，作为评价齿轮传动质量的关键性指标，啮合性能越来越被重视。为了提升面齿轮传动的啮合性能，一般常用的方法是对齿轮齿面进行拓扑修形。对于渐开线齿廓的面齿轮修形，通常是利用齿数差实现的。为有效降低对安装误差的敏感性，LITVIN等人提出对面齿轮齿廓方向进行抛物线修形的方法，以期获得倾斜的接触路径及抛物线型的传动误差曲线，有效降低了轮齿边缘接触可能性，但该方法未能解决齿面的偏载现象。为此，LITVIN等人又提出了对配对圆柱小轮进行齿廓、齿宽双向修形的方法，该方法能够获得倾斜的齿面接触路径和预置的抛物线传动误差，但同时出现了接触路径的不均性问题。ZANZI等人对该齿面修形方法进行了改进，即通过将修形砂轮倾斜一定角度来解决该问题，并取得了较好的传动效果。在国内，也分别提出了各自的面齿轮齿面修形方法和策略，并进行了齿面接触分析，验证了各自修形方法的有效性，为面齿轮的设计加工以及推广应用奠定了理论基础。 

本文在前期研究的基础上，提出了利用碟形砂轮对面齿轮齿面修形来改善面齿轮啮合性能的方法，尝试通过5个修形参数的优化组合来实现对啮合性能的主动控制，并取得了较好的试验效果。但面齿轮副的修形研究大多局限于定性研究，对于面齿轮齿面修形量的计算以及对啮合性能的影响规律，未做进一步的探讨和研究；因此，本文在上述研究的基础上，探讨了面齿轮副中圆柱小轮修形量的计算分析方法及其对啮合性能的影响规律。 

圆柱小轮的抛物线廓形齿面是利用成形法磨削而成，即圆柱小轮齿面齿廓和磨削砂轮廓形相吻合， 砂轮截面廓形如图5所示。

图5 砂轮截面廓形

坐标系S₁(O₁X₁Y₁Z₁)、S_k(O_kX_kY_kZ_k)分别为圆柱小轮及磨削砂轮坐标系。在轴向剖面内砂轮母线与圆柱小轮截面廓线一致，当Z₁=0时，X₁Y₁平面内圆柱小轮廓线l₁的矢量表达式r₁₀为:

式中:r_1x、r_1y分别为圆柱小轮齿面矢量在X₁轴、Y₁轴上的分矢量。根据坐标转换原理，将式(6)转换到磨削砂轮坐标系S_k(O_kX_kY_kZ_k)中可得到砂轮轴向廓线的矢量表达式r_k为:

式中:M_k1为圆柱小轮坐标系到磨削砂轮坐标系的转换矩阵。

在推导砂轮轴向截面坐标基础上，圆柱小轮的齿向修形由砂轮在齿宽方向上做抛物曲线运动来完成，完成磨削修形后，在齿宽方向上形成了“双鼓形”齿，砂轮中心运动轨迹如图6所示。

图6 砂轮中心运动轨迹

图6中:坐标系S_g(O_gX_gY_gZ_g)为砂轮中心运动坐标系；α₂为齿宽方向的抛物线系数；u₂为抛物线参数；u为抛物线上的点对基廓节点的偏移距；ξ_k为砂轮中心点在Y₁Z₁平面内的运动轨迹。 

圆柱小轮在磨削修形过程中，成形磨削砂轮是由金刚滚轮修整的，砂轮的金刚滚轮修整如图7所示。砂轮廓线及等距曲线如图8所示。

图7 砂轮的金刚滚轮修整

图8中，r_k为砂轮廓线，r_d为砂轮廓线的外等距线，外等距线上点的矢量r_d的表达式为:

式中:r为金刚滚轮的圆角半径；r_k为砂轮廓线矢量；n为砂轮廓线上单位法向矢量。设金刚滚轮的修整运动曲线的坐标为X_d、Y_d，则砂轮轮廓外等距线上点的坐标可表示为:

式中:X_k、Y_k为磨削砂轮坐标。

图8 砂轮廓线及等距曲线

根据前文的推导过程及相关公式，分别编程计算圆柱小轮的齿面修形量。齿廓修形时，可通过对加工齿条抛物线系数的不同赋值获得相应修形量，圆柱小轮端面廓形如图9所示。对加工齿条的抛物线系数分别赋值为0.005、0.020、0.050，计算结果显示，齿廓修形后在轴向截面上呈“鼓形”，在齿廓的中部没有修形量，在齿顶和齿根处的修形量明显不同，随着抛物线系数的增大，齿顶及齿根处的修形量随之增大。

图9 圆柱小轮端面廓形

为了进一步探究抛物线系数对修形量的影响，编程计算出不同抛物线系数下的齿廓法向修形量，圆柱小轮齿廓法向修形量如图10所示。由图10可知，相同抛物线系数下齿轮齿顶处法向修形量明显比齿根处要小，随着抛物线系数的增大，齿廓法向修形量也越来越大，且增加趋势明显。

图10 圆柱小轮齿廓法向修形量

圆柱小轮的齿向修形量是由图6所示修形方法完成的，修形后齿面和未修形齿面的对比如图11所示。对比结果显示，修形后圆柱小轮齿面在其齿宽方向呈“鼓形”，且其齿向法向修形量沿齿宽方向上基本呈现对称分布。

图11 修形后齿面和未修形齿面的对比

图13所示为面齿轮齿面接触分析坐标系，圆柱小轮的齿面修形量对啮合性能的影响可通过建立坐标系进行分析，设坐标系S_h(O_hX_hY_hZ_h)、S₂(O₂X₂Y₂Z₂)和S₁(O₁X₁Y₁Z₁)分别为面齿轮副机架、面齿轮和圆柱小轮坐标系，面齿轮和圆柱小轮分别绕坐标轴Z₂和Z₁旋转，辅助坐标系S_f(O_fX_fY_fZ_f)、S_a(O_aX_aY_aZ_a)、S_e(O_eX_eY_eZ_e)、S_d(O_dX_dY_dZ_d)则用于分析齿轮机构的装配。图13中:Ｒf为坐标原点O_f到O₁的距离，R_f=R_s+B_cotγ；φ₁、φ₂分别为圆柱小轮、面齿轮转角；γ_f为坐标轴Z_q与Z_d的夹角，γ_f=γ_m+Δ_γ；B为Z_q与Z_f之间距离；ΔE为面齿轮副轴交错位移误差；Δq为轴向偏移误差；Δγ为轴交角误差。

图12 圆柱小轮齿向最大法向修形量变化

图13 面齿轮齿面接触分析坐标系

为了便于分析齿面修形量对其啮合性能的影响，设计了一对面齿轮副的结构参数，如表1所示。当圆柱小轮齿面不做修形，且无安装误差时，面齿轮副的齿面接触分析计算结果如图14所示，分析结果显示，面齿轮副在无修形且无安装误差情况下的传动误差曲线为幅值为0的直线，即该情况下没有传动误差；面齿轮齿面接触路径位置靠近齿面的内侧，即靠近面齿轮的最小直径位置，且基本垂直于轮齿根锥，此时齿轮副出现边缘接触可能性较大。

表1 面齿轮副结构参数

图14 未修面齿轮齿面接触分析结果

为分析圆柱小轮在齿廓方向上的不同修形量对面齿轮啮合性能的影响规律，分别设计了3组算例，圆柱小轮齿廓修形算例如表2所示。

表2 圆柱小轮齿廓修形算例

表2的3组算例保持其他参数值不变，通过改变齿廓修形参数值来研究其对齿面接触性能的影响，为了使比较更加直观，将表2中3组算例的计算结果放在同一个图中，圆柱小轮齿廓修形量对啮合性能的影响如图15所示。通过对算例的计算分析发现，圆柱小轮不同的齿廓修形量会使齿面接触路径的倾斜度发生改变，即接触路径的倾斜度随齿廓修形量的增大而增大，同时还会导致齿面接触椭圆长轴直径(图15b)中3条接触路径上的直线)变小；传动误差曲线随着齿廓修形量的增大变得趋向平缓，接近平顶曲线，传动误差幅值变小。计算结果表明:适当增大圆柱小轮齿廓修形量能增大齿面接触路径的倾斜度，有效降低面齿轮副抛物线传动误差值，从而减小振动与噪声，达到改善其啮合性能的目的。

图15 齿廓修形量对啮合性能的影响 

表3所示为圆柱小轮齿向修形算例，保持其他参数值不变，通过改变圆柱小轮齿面的齿向修形量来研究其对齿面接触性能的影响。为使比较更加直观，将表3中的3组算例计算结果放在同一个图中，齿向修形量对啮合性能的影响如图16所示。

表3 圆柱小轮齿向修形算例

图16 齿向修形量对啮合性能的影响

计算结果表明:不同的齿向修形量同样会使面齿轮齿面接触路径的倾斜度发生改变，但变化趋势和齿廓修形相反，即齿面接触路径的倾斜度随着齿向修形量的增大而减小，同时传动误差曲线则随之变得平缓且幅值变小，该特点与齿廓修形时相似，即齿向修形量增大会有效减小传动误差曲线幅值。但是不同的齿向修形量也会使接触椭圆长轴发生变化，导致接触椭圆长轴变短，即齿向修形量变大会使接触面积变小。综上所述，要想获得良好的啮合性能，齿向修形应和齿廓修形组合进行。

本文讨论了面齿轮副中圆柱小轮齿面修形量的计算及其对啮合性能的影响规律，通过对比分析得到以下结论。 

1)面齿轮副中圆柱小轮进行齿廓修形时，相同修形系数下其齿顶处的法向修形量明显比齿根处要小；圆柱小轮在齿向修形时，其法向修形量沿齿宽方向上基本呈现对称分布。 

2)面齿轮副中，增大圆柱小轮的齿廓修形量会使齿面接触路径的倾斜度变大，并导致传动误差曲线变得平缓，形状趋近于平顶抛物线；圆柱小轮齿向修形量与齿廓修形量的变化对齿面接触路径的影响趋势相反，而对传动误差曲线的影响相似；通过分析对比可知，圆柱小轮齿廓修形量是影响啮合性能的主要因素。

3)圆柱小轮的齿廓和齿向修形量的优化组合能显著改善面齿轮副齿面接触路径的倾斜度、传动误差曲线形状、齿面接触区的形状和面积。

END