汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副在使用过程中齿面接触应力大小和方向频繁地变化，易产生齿面裂纹、磨损等问题。因此，研究齿面接触线分布、啮合面等齿面接触特性具有很好的工程意义。目前对该类型变传动比斜齿轮齿条副接触特性的研究较少。为此，针对汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副，从空间啮合原理出发，建立变传动比齿条齿面数学模型，推导出齿面瞬时接触线方程，探讨瞬时接触线的形态以及啮合面特性。发现定传动比阶段的瞬时接触线为直线，啮合面为平面；在变传动比阶段，瞬时接触线仍为直线，啮合面为曲面。分析法向模数m_n、分度圆螺旋角β、法向压力角α_n、轴交角Σ和法向变位系数x_n对齿面瞬时接触线及啮合区域的影响规律，综合考虑上述不同设计参数对接触线的影响规律，在实例参数的基础上，给出变传动比 齿轮齿条副主要设计参数的选取范围，为变传动比斜齿轮齿条副的设计分析提供了参考。

机械式变速比齿轮齿条转向器利用标准渐开线圆柱斜齿轮与具有变齿距、变压力角、变螺旋角的曲面齿条空间啮合来实现传动比的变化，从而满足汽车平顺的转向性能。但是研究发现，该类型转向器在长期行驶过程中，齿面易出现裂纹、磨损等现象，尤其易出现在齿面的齿根部分。为此，开展变传动比斜齿轮齿条副啮合运动分析，研究不同设计参数对啮合区域及接触线的分布具有很好的工程实际意义。

变传动比斜齿轮齿条副本质上属于空间螺旋齿轮啮合，在齿轮接触特性和接触线研究方面，Liang等研究以空间曲线为接触线的小角度交错轴螺旋齿轮啮合传动性能以及共轭齿廓的形成方法。Choe等研究以空间直线为接触线的渐开线螺旋齿轮啮合过程，分析了接触线的变化规律。李铭忠等为提高斜齿轮传动的平稳性以及减振降噪，提出了一种变位渐开线斜齿轮接触线长度参数化计算方法。王祉凡等研究了压力角、齿扇锥角和齿深等几何参数对摇臂轴非圆齿扇瞬时接触线分布的影响规律。邓星桥等通过分析中心距、传动比、母平面倾角、蜗轮回转轴倾角、蜗轮转角、蜗杆分度圆系数、主基圆系数等不同参数对平面包络内啮合蜗杆齿面接触区域的分布情况，找出合理的设计参数范围。李仕轩等研究了渐开线圆柱蜗杆斜齿轮传动副接触特性，发现通过调整传动副传动比、法向压力角、法向模数和螺旋角可有效控制接触区域位置和接触面积大小。杨婷等在大量数值计算的基础上，分析了变齿厚内齿轮包络外转子鼓形蜗杆喉径系数、主基圆半径、母平面倾角等参数对传动啮合性能的影响。

关于汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副，刘惟信将汽车转向器交错轴齿轮齿条传动分为齿扇齿条式和齿轮齿条式两种基本形式，提出了变模数、变压力角非标准齿形设计的基本原则。施伟提出了一种用于汽车转向的变节距齿轮与少齿数齿轮副，阐述了这种齿轮齿条副的结构特征，但缺少深入的理论分析。Eugeniu等分析了指数函数传动比的齿轮齿条副的展成原理，提出限制最大传动比取值的解决措施。Zheng等研究具有二阶连续分段传动比曲线的少齿数齿轮齿条副接触特性，分析传动比对接触线的影响规律。Yusuke等、Daisuke等研究变速比直齿、斜齿小齿轮齿条副非标啮合，提出了用传动比值范围、啮合极限点、齿顶不变尖、重合度、齿根圆角共5大约束条件，得到无干涉理想的齿条齿廓设计计算方法。

上述文献中，对螺旋齿轮副、非圆齿扇齿条副和蜗轮蜗杆副等进行了空间啮合分析和接触特性及接触线的分析，但是对变比斜齿条齿轮副的接触线分析及分布规律研究甚少。为此，本文针对汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副，推导变传动比齿条齿面方程，推导出齿面瞬时接触线方程，探讨瞬时接触线的形态以及啮合面特性；分析法向模数m_n、分度圆螺旋角β、法向压力角α_n、轴交角Σ和法向变位系数x_n对瞬时接触线及啮合区域的影响，旨在为汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副的设计提供理论分析方法。 

变传动比斜齿轮齿条传动比多项式函数为

式中：i_min、i_max分别为变速比曲线的最小传动比与最大传动比；φ值为转角值。该传动比函数为线角传动比函数，是指齿轮每旋转一周时，齿条在轴线方向上移动的直线距离，单位为mm/r，可得齿条在齿轮转角φ∈[φ，φ+Δφ]下的位移方程为

图1 变传动比斜齿轮齿条副传动模型

图1为针对上述变速比曲线所得到的变传动比斜齿轮齿条副传动模型，从模型中可以看出该齿条共有17个齿槽， 第9号齿槽为中间齿槽，齿条齿形以第9号齿槽为中心呈对称分布，齿形变化与传动比变化规律相符，图2为齿条特征示意图。

图2 齿条特征示意图

由图2可知，该齿条齿数沿齿长方向从左往右呈“密-疏-密-疏-密”型分布；水平中心线上相邻齿距从左往右为“小-大-小-大-小”的变化趋势；齿宽方向螺旋角呈“小-大-小-大-小”的变化趋势。为确定传动比与齿轮节圆半径关系，绘制图3所示的展成运动坐标分析图。假设与渐开线斜齿轮固连的坐标系为O₁x₁z₁，与齿条固连的坐标系为O₂x₂z₂。两坐标系的原点O₁、O₂重合，齿轮绕z₁轴旋转，齿条沿x2轴平行移动。

图3 展成运动坐标分析图

图3中β₁(φ)为齿轮瞬时节圆螺旋角，该螺旋角随着传动比变化而变化；β₂(φ)为公法面与齿条端面夹角；Σ为两交错轴线之间的夹角，大小为齿轮齿条瞬时节圆螺旋角的差或和，考虑到螺旋齿轮右旋和左旋，啮合时轴交角Σ与两齿轮螺旋角之间关系的通用表达式为

式中：“+”表示齿轮、齿条旋向相同；“-”表示旋向相反。由图3可知，齿轮齿条同为右旋，旋向相同，取“+”，可得β₂(φ)=Σ-β₁(φ)。齿轮绕自身轴线旋转360°啮合点所转过的弧长l为

在交错轴齿轮齿条的公法面上，将弧长投影到齿条所在公法面上，得导程l₁为

将式(5)中该导程转换到齿条端面，得到齿条的导程l₂为

线角传动比i(φ)等于齿条端面的导程l₂，即

因此可以得知齿轮瞬时节圆半径r(φ)为

利用三角函数将式(8)进行转换，得到：

齿轮节圆螺旋角β₁(φ)时刻发生变化，将节圆参数转化到已知的分度圆中。设齿轮分度圆半径为r₀，节圆与分度圆上螺旋角和半径的关系为

可得

将式(11)代入式(9)得

最终化简得任意啮合圆的节圆半径r(φ)为

由式(13)可知，齿轮节圆半径r(φ)只与线角传动比i(φ)有关。

图4 变传动比斜齿轮齿条副空间啮合坐标系示意图

建立图4所示的变传动比斜齿轮齿条副空间啮合坐标系。设坐标系Oxyz为斜齿轮与齿条的原始参考坐标系，O₁x₁y₁z₁为固定于斜齿轮的定坐标系，其中y₁轴与y轴相重合，z₁轴与z轴、x₁轴与x轴之间的夹角为起始安装角Σ；坐标系O_1′x_1′y_1′z_1′为与斜齿轮相固连的齿轮动坐标系，y_1′与y₁之间的夹角φ为任意时刻斜齿轮绕自身轴线旋转的角度；O₂x₂y₂z₂为固定于齿条的定坐标系，其中y₂轴与y轴相重合，z₂轴与z轴、x₂轴与x轴相互平行，原点O₁与O₂之间的距离a即为斜齿轮与齿条之间的中心距；坐标系O_2′x_2′y_2′z_2′为与齿条相固连的齿条动坐标系，其中O_2′x_2′y_2′z_2′与O₂x₂y₂z₂之间沿x2轴方向的距离S即为齿条在任意转角下的位移。

为推导齿条的齿面方程，需将斜齿轮动坐标系O_1′x_1′y_1′z_1′转换到齿条动坐标系O_2′x_2′y_2′z_2′中，其坐标旋转矩阵为

假设任意时刻在变传动比斜齿轮齿条副上有一啮合点G，其矢径的坐标变换为

式中：r^(1′)为啮合点G在斜齿轮动坐标系O_1′x_1′y_1′z_1′中的矢径；r^(2′)为啮合点G在齿条动坐标系O_2′x_2′y_2′z_2′中的矢径；为原点O_1′在齿条动坐标系O_2′x_2′y_2′z_2′中的矢径的列矩阵。具体计算如下：

式(17)即表示啮合点G在齿轮齿条之间的坐标变换关系。 

斜齿轮右侧齿廓在端面的投影如图5所示，将图中齿轮端面渐开线CG绕齿轮轴线z_1′作螺旋运动，得到右旋渐开螺旋面。其中点G′可看作点G绕z_1′作螺旋运动顺时针旋转角度θ而得到。

图5 斜齿轮右侧齿廓在端面的投影

渐开线斜齿轮的齿面方程为

式中：p为渐开线斜齿轮螺旋参数，pθ的意义为在旋转角度为θ时，端面渐开线沿轴z_1′方向所移动的距离，p=r_b/tanβ_b，β_b为基圆螺旋角；σ₀为渐开线起始偏移角：

式中：m_t为斜齿轮的端面模数；r为分度圆半径；x_t为端面变位系数；α_1′为渐开线起始点C处压力角α_1′=arccos(r_b/r)，invα_1′=tanα_1′-α_1′。 

依据齿轮传动的啮合原理可知，两共轭齿廓曲面一定满足啮合方程：

式中：n_1′为啮合点的法向量；V_1′2′为齿条齿轮的相对运动速度。

(1)求解渐开线斜齿轮与齿条相对运动速度

在齿轮动坐标系下，齿轮与齿条的相对运动速度为

式中：ω_1′为齿轮旋转角速度；ω_2′为齿条旋转角速度，其值为0；ω_1′2′为齿条对齿轮的旋转角速度；ξ为对应的向量，可表示为

为ξ对时间t求导，结合式(22)，可表示为

式(21)中，

最终得到相对速度为

(2)求解曲面啮合点法矢量

根据上节所求出的渐开线斜齿轮齿面方程可知，在三维曲面方程中，变量为μ与θ，因此根据斜齿轮齿面方程可求得曲面啮合点法矢量为

将式(18)与式(27)联立可得法矢量为

(3)求解曲面啮合方程

根据n_1′V_1′2′=0，得到：

将式(29)化简得到右侧齿面啮合方程为

由双参数曲面包络条件可知，将渐开线斜齿轮在动坐标系O_1′x_1′y_1′z_1′下的齿面方程利用空间坐标变换到O_2′x_2′y_2′z_2′坐标系中，即可得到齿条工作齿面方程：

由于式(31)中包含三个变量φ、μ、θ，可通过啮合方程式(30)来消除其中一个未知变量，最终得到齿条右侧工作齿面参数表达式为

将渐开线斜齿轮齿面方程式(18)及传动比多项式函数式(1)代入式(33)中得

同理可得左侧啮合方程为

齿条左侧工作齿面方程为