插齿工艺因其在刀具操作空间受限时的独特优势，被广泛应用于内齿轮加工领域，近年来备受关注。插齿刀的结构参数与工艺参数优化对改善加工质量与提高齿轮制造精度具有重要意义。首先，针对新型双点接触内齿轮，提出了一种专用加工插齿刀的齿廓设计与啮合面推导方法，设计了插齿刀的齿廓，推导了刀具齿面成形方程，并构建了插齿刀的三维实体模型。基于DEFORM有限元仿真，分析了标准结构下单齿切削过程的主切削力与切削温度特性；其次，针对刀具前角、后角与刀具切削速度参数对刀具主切削力与切削温度的影响，采用正交试验设计方法设计样本点，通过响应面法研究并建立关于主切削力与切削温度的二次多项式预测模型并验证其精度，揭示了前后角-切削速度耦合作用于切削性能的影响规律。最后，以最小化主切削力与切削温度为目标，采用多目标遗传算法优化刀具结构与工艺参数。结果表明:多元参数条件下，切削速度与前角的交互作用对主切削力与切削温度影响最为显著；在合理误差范围内，采用优化后的刀具结构参数与工艺参数可显著降低切削过程中的主切削力与切削温度，研究结果为双点接触齿轮加工精度提升与加工刀具参数选择提供了理论与方法参考。

内啮合齿轮因其结构紧凑、承载能力较强，广泛应用于汽车、航天、船舶等领域。插齿刀作为内齿轮加工常用刀具，其几何参数选择与工艺参数选择直接影响加工过程的切削力与切削温度，进而影响待加工齿轮的齿形精度，有效降低切削力与切削温度是提升齿轮加工精度的关键途径。 

近年来，中外学者在齿轮插齿加工研究和刀具设计与参数选择方面开展了大量研究。在齿轮插齿加工方面，Erkorkmaz等提出了预测插齿过程中切屑几何形状与切削力的新模型，并利用插齿机验证了其准确性。邹业明利用VERICUT建立了非对称直齿和斜齿轮插齿模型，验证了插齿加工非对称齿轮的可行性。Katz等提出了一个全面插齿模型，同时研究了沿切削刃的未变形切削几何形状，并对切削力预测算法进行了试验验证。Zschipp-ang等进行了面齿轮插齿过程计算模拟，并确定合适的径向进给量和圆周进给量等工艺参数，从而实现稳定的加工。在刀具设计与参数选择方面，徐海波提出等切削前角插齿刀设计原理并基于有限元分析比较不同切削刃的切削性能，该研究为新型插齿刀设计提供了理论指导。Lin等讨论了新型无误差插齿刀设计原理与设计模型，开发改进了插齿刀齿形设计方法，有助于提高插齿刀的设计与制造。韩军等以插齿刀几何参数为研究对象，通过对刀具几何参数优化来减小加工过程中的切削力。Li等通过优化圆周进给速度，将插齿每个行程切削面积均匀化，从而减少插齿行程数量，显著提高了插齿加工效率。景艳等研究了双圆弧刚轮插齿刀顶刃后角对插齿刀可刃磨长度的影响规律，并得出设计时应在保证齿形精度的情况下，选择较大的顶刃前角和较小的顶刃后角的结论。 

当前，外啮合点接触齿轮的成形制造普遍采用滚齿工艺，而内啮合点接触齿轮则主要依赖滚齿或车齿技术。Gao等针对三点接触共轭曲线齿轮副，通过建立滚刀齿条刀具参数化数学模型，完成了刀具三维构型设计，并通过切削实验与承载能力测试验证了该方案的可行性；Liang等进一步面向双点接触内啮合齿轮副展开研究，分别设计了凸齿小齿轮专用滚刀与凹齿内齿轮专用车刀，基于VERICUT平台构建了切削加工仿真，验证了刀具的有效性。传统渐开线内齿轮加工长期以插齿工艺为主导，然而对于双点接触内齿轮的插齿方法及其专用刀具设计，公开文献尚缺乏相关论述。 

因此，现设计双点接触内齿轮插齿刀基本齿廓并推导刀具齿面方程，建立插齿刀的实体模型；基于DEFORM有限元仿真得到单齿刀切削过程的主切削力F与切削温度T；采用响应曲面法，以刀具几何参数(后角α、前角γ)与加工工艺参数(切削速度v)为影响因子，以主切削力F和切削温度T为响应变量，分别建立两个响应变量的二阶多项式数学预测模型并检验其精度，利用多目标遗传算法对所建立的响应模型预测进行优化，得到刀具最佳几何参数与加工最佳切削速度参数。首次系统性地将有限元方法、响应面法与多目标优化方法相结合，应用于双点接触齿轮插齿刀优化设计，旨在为实际生产中该类插齿刀具的几何参数选择与加工参数选择提供理论参考。 

图1 内齿轮插齿刀法面齿廓

内齿轮插齿刀刀具齿廓如图1所示，其主要由三部分切削刃组成，凹齿齿根圆弧段(K₀K₁)，对应切削刃Ⅰ，凹齿接触工作段(K₁K₂)，对应切削刃Ⅱ和凹齿齿顶倒角段(K₂K₃)，对应切削刃Ⅲ。P所在直线为节线，P_k1和P_k2为工作齿廓两个接触点。刀具齿廓的齿根部分(K₀K₁)为圆弧段，x_nkI、y_nkI和z_nkI分别表示圆弧段任意点在法面坐标系S_n(x_n，y_n，z_n)下沿x_n、y_n、z_n的坐标分量，其表达式为

式(1)中:h_k2为齿根高；R_k为齿根圆弧半径；j为齿廓齿侧间隙；θ_k为齿根圆弧参数；∓表示齿轮法面齿廓位置，-表示齿轮左侧法面齿廓，+表示齿轮右侧法面齿廓。插齿刀的工作齿廓段(K₁K₂)为双点接触形式的抛物线曲线，其在坐标系S_n中的表达式为

式(2)中:ε为抛物线参数；α_kk为名义压力角；S为抛物线计算参数；l_d为齿形对称线到抛物线中心的距离；j为齿间侧隙。α_kk=(α_k1+α_k2)/2，σ=(α_k2-α_k1)/2，S=ρ_ksin2σ/(2cosσ)+ρ_kcosσ，ρ_k为齿廓圆弧曲率半径。齿顶部分为倒角斜直线段(K₂K₃)，其在坐标系S_n中的表达式为

式(3)中:λ为切削刃Ⅲ上任意一点到点K₂的距离；δ_k为倒角斜直线段与坐标轴X_n的夹角； (K_2x， K_2y，0)为点K₂在坐标系S_n中的坐标值。 

S₂和S₃为空间可移动坐标系，S_n与齿条连接，S₄与内齿轮连接；β为齿轮的螺旋角；φ_w为齿轮旋转角；r₂为齿轮节圆柱半径；μ为坐标系原点S_n与S₂之间的距离；φ_m为内齿轮角速度；齿条刀具沿y2负方向移动rφ_w时，内齿轮逆时针转过角度φ_w

图2 内齿轮空间坐标系

基于齿轮齿条法，建立如图2所示空间坐标系。根据坐标变换，将齿廓方程转换到齿轮端面，变换表达式如下。

式(4)中:

假设切削刃上共轭点分别为P_1、P₂和P₃，计算出各共轭点在坐标系S₂中的法向矢量，其表达式分别为

式中:符号“×”表示三维向量的叉乘运算。根据齿轮啮合原理，各共轭点在坐标系S₂中的相对速度表达式分别为

齿轮啮合方程为nv=0，将式(6)~式(11)结合啮合方程，推导出各切削刃的啮合方程，切削刃Ⅰ的表达式为

切削刃Ⅱ的表达式为

切削刃Ⅲ的表达式为

将各部分啮合方程结合所得坐标变换方程，联立得到插齿刀具齿面啮合方程，各部分表达式如下。

式中:

基于求得的齿面方程，利用MATLAB软件生成插齿刀具齿面的数据点云，如图3所示。再运用UG三维建模软件的点云构面功能，将所得数据点构建曲面并建立插齿刀具三维实体模型，如图4所示。插齿刀具体几何参数如表1所示。

图3 插齿刀具齿面数据点云

图4 插齿刀实体模型

表1 插齿刀几何参数

切削力是评价刀具性能的重要指标，切削过程中，刀具所受合力的大小与方向随时间变化，合力在切削速度方向的分力称为主切削力，主切削力几乎占据切削过程的总功率。切削温度影响刀具寿命，由切削理论可知，切削过程的能量大部分转化为热量，切削温度过高会使刀具寿命降低。为了减少目标因素外的影响，对刀具主切削力与切削温度进行分析。 

插齿刀将齿圈加工成完整齿轮的过程极为复杂，涉及插齿刀的往复插削运动、径向进给运动、让刀运动以及刀具与工件的回转运动，这些运动严格相互配合才能切削出完整的齿轮，插齿是典型的多刃间断切削，且每个刀齿的切削过程较为独立。在单次插削过程中，每个刀齿所切除的齿坯截面形状都不同，而且各个刀齿间也不易产生干扰。在运用有限元仿真软件模拟插齿加工过程时，若所建立的有限元模型可以模拟单个刀齿切除与之对应的齿坯截面形状的插齿加工过程，就能获得插齿加工过程的切削力以及切削温度。

在保证仿真计算精度的前提下，为了节省仿真实验时间，考虑到插齿加工的周期性特征，将插齿刀具模型和齿圈模型适当简化，采用单齿刀具-齿圈模型装配后导入DEFORM软件。在金属切削中，为避免在模拟过程中出现不收敛现象，采用DEFORM网格自动重新划分来提高收敛性与仿真精度，接触部分进行网格加密，将网格加密区域与外部区域的单元尺寸比设为1:100，插齿刀和齿圈均采用四面体网格划分，刀具网格单元数目为50000，齿圈网格单元数目为150000，如图5所示。

图5 模型装配与网格划分

在插齿加工齿轮过程中，材料本构模型与断裂准则是揭示切削动态行为及失效机制的理论基础。材料本构模型通过数学方程描述材料在高速、高温、大变形等复杂载荷下的应力-应变关系；金属加工断裂准则基于应力、应变、能量等理论建立，通过设定临界值，结合材料特性与加工条件，判断金属是否会发生断裂。 

45钢具有良好的切削加工性，易于塑性成型，适合于复杂齿形的高效加工，WC硬质合金兼具高硬度与耐磨性，可高效切削高硬度材料，其作为刀具材料，广泛应用于金属加工领域，仿真实验选用45钢作为齿圈工件材料，WC硬质合金作为刀具材料，具体材料属性如表2所示。 

材料的本构模型决定了材料的力学行为，插齿加工中，工件材料产生高温与高切削力，发生较大的弹性应变。Johnson-Cook模型适用于金属材料在高温与高应变率下的变形，故选用Johnson-Cook模型作为本构模型，其屈服应力方程为

式(19)中:A为屈服应力；B为硬化系数；ε为塑性应变；为等效应变速率；为初始塑性应变率；C为应变率灵敏系数；n，为应变硬化指数；T为工件温度；T_r为加工环境温度；T_m为工件的融化温度；m为温度软化指数。具体参数如表3所示。Johnson-Cook断裂准则能够综合考虑插齿过程中应变、应变率和温度对材料断裂的影响，因此断裂准则采用Johnson-Cook断裂准则，其相关表达式为

式(20)中:p为正压力；q为等效应力；ε₀为材料参考应变率；θ为参考温度；d1~d5为材料断裂参数。具体参数如表4所示。

表2 刀具与齿圈材料属性

表3 45钢本构模型参数

表4 Johnson-Cook断裂准则参数

研究聚焦于首次切削过程的瞬时机理分析，为简化复杂变量而暂未纳入刀具磨损动态过程，并忽略了热累积效应，采用单次切削加工，即刀具一次冲程加工产生的切削力与切削温度。在仿真设置中，将插齿刀定义为刚体，并约束工件在X、Y、Z共3个方向的自由度，设定刀具沿Z轴负方向进行主切削运动，根据工件与刀具材料，参考《金属切削手册》，采用切削速度为400mm/s，根据切削速度与刀具半径参数求得刀具圆周角速度为1.8175r/s，传热系数设为1，研究插齿刀具第一次冲程进刀加工时，采用一般室温情况，设初始温度为20℃。根据Zorev提出的切削摩擦模型，刀具与工件之间的剪切摩擦因数设为0.3。 

图6 插齿加工过程图

通过DEFORM建立切削仿真加工分析，加工过程如图6所示。插齿刀单次加工工件主切削力与加工时间的关系如图7所示，可知，在刀具切入工件的初始阶段，刀具与工件的接触面积迅速增大至最大，导致主切削力达到峰值52383. 2N。主切削力在切削过程中呈现波动特性，这与材料的塑性变形、切屑形成与断裂过程有关。随着切削过程的进行，材料被逐步去除，刀具与工件的接触面积逐渐减小，切削力随之降低，当刀具脱离工件后，切削力变为0N。仿真得到刀具的切削温度变化如图8所示。刀具刚切入工件，前刀面与工件材料剧烈摩擦，刀具温度迅速升高，随着切削过程进行，刀具温度保持较为平稳的波动上升并达到峰值177.9℃，当刀具脱离工件后，刀具温度迅速下降并逐渐接近环境温度。

图7 主切削力

图8 切削温度