插齿加工仿真每次试验都需要大量时间，对于后续算法优化，需要大量数据进行优化分析。采用中心复合设计(Box-Behnken design，BBD)的响应曲面法(response surface methodology，RSM)建立近似模型，能够在参数范围内，利用较少试验样本点，通过多项式较为准确地拟合输入变量和响应变量之间的关系，建立响应面近似模型，利用近似模型对响应变量进行预测，可以显著提高优化效率。考虑刀具寿命与加工精度等因素，选取插齿刀具几何参数与工艺参数水平范围如表5所示。

表5 不同因素试验水平

表6 输入参数及仿真结果

图9 插齿刀前刀面温度分布图

为建立输入变量与响应变量之间的函数关系，需采用合理的实验方法采取样本点。根据中心复合设计响应曲面设计方案得到17组插齿加工参数组合，并通过仿真试验得到相应主切削力与切削温度数值，试验结果如表6所示，表6中编号10和17的前刀面温度分布如图9(a)和图9(b)所示。基于试验得到的样本数据建立切削力与温度的响应面近似模型，其表达式为

式(21)中:n为输入变量个数；a₀为常数项；b、c、d为多项式系数；ε_r为误差项。由于研究设计3种参数对切削力与切削温度的影响，式(21)中n取值为3。将表6中不同参数条件下的切削力代入式(21)，得到切削力F预测模型为 

同理，切削温度T预测模型为

利用响应曲面图分析各参数对切削力与切削温度的交互影响。各参数与主切削力的响应关系如图10所示。由图10(a)和图10(b)可知，当γ增大时，主切削力比较显著地减小；由图10(a)和图10(c)可以得到，当α增大时，主切削力逐渐缓慢减小，变化程度不大；由图10(b)和图10(c)可以得到，当切削速度增大时，主切削力显著增大。综合观察图10(a)~图10(c)，主切削力最大值与最小值均位于图10(b)中，表明在选定参数范围内，对主切削力影响最显著的是v-γ。 

图10 主切削力F的响应曲面

各参数与切削温度的响应关系如图11所示。由图11(a)和图11(b)可知，当γ增大时，切削温度缓慢地减小；由图11(a)和图11(c)可知，当α增大时，切削温度变化程度不大；由图11(b)和图11(c)可以得到，当切削速度增大时，切削温度明显升高。综合观察图11(a)~图11(c)，切削温度最大值与最小值均位于图11(b)中，表明在选定参数范围内，对切削温度影响最显著的是v-γ。 

图11 切削温度T的响应曲面

前角增大会减小切削变形和摩擦阻力，从而降低切削力和切削热的产生，但随着切削速度提高，刀头导热面积和容热体积的不足会导致热量积聚，反而使切削温度升高；同时，前角增大削弱了切削刃强度，进一步加剧热-力耦合效应，所以二者交互作用对切削力以及切削温度影响较为显著。 

对切削力F与切削温度T试验结果进行方差分析(ANOVA)，F用于检验近似模型的显著性；P用于检验近似模型项是否显著。使用P与F进行方差检验，分析各因素对响应变量的影响程度。 

表7 主切削力近似模型方差分析表

建立的切削力近似模型方差分析结果如表7所示。本文模型F为23.87，大于标准值3.02，并且本文模型的P小于预定显著性水平值0.05，则一次项与交互项均为显著项目，说明本文研究基于试验样本点建立的近似模型置信度高；R2越接近1，拟合效果越好；调整后的决定系数Adjusted R2通常比R2小，它提供了模型拟合数据效果的更真实反映。

本文模型R2与Adjusted R2均较高，分别为0.9684和0.9279，且二者比较接近，进一步说明近似模型精度高，拟合度高。按同样的方法对切削温度的结果进行方差分析同样满足要求，如表8所示。通过响应面模型可以反映出3个设计参数对两个指标的影响规律，为了匹配较好的设计参数，采用多目标遗传算法对插齿刀切削加工工艺性能进行多目标优化和相关参数的设计。 

表8 切削温度近似模型方差分析表

多目标遗传算法(MOGA)可以生成非支配解集，提供多维权衡方案，决策者可以根据实际情况灵活选择，具有很好的多样性。

图12 多目标遗传算法优化流程

多目标遗传算法优化流程图如图12所示。多目标参数优化目标是建立参数变量、约束条件与优化目标之间的函数方程。多目标优化问题的数学表述为

式(24)中:x_n为第n个决策变量；y_m为第m个目标向量；e(x)为约束条件。基于MATLAB采用遗传算法对插齿刀具的切削性能进行多目标优化和结构参数与工艺参数的设计，设计以下约束条件，参数表达式为

式(25)中:x₁为后角α；x₂为前角γ；x₃为切削速度v。后角α的参数约束范围为5°~10°，前角γ的参数约束范围为5°~15°，切削速度v的参数约束范围为300~500mm/s。 

对插齿刀切削加工建立三因素两水平目标优化，以最小切削力和切削温度为优化目标，获得刀具最佳结构参数后角α、前角γ和最佳工艺参数切削速度v。设置初始种群数量为500个，最大迭代次数为200次，交叉率为0.9，变异率为0.01，保留0.7的非支配解来维持Pareto多样性。在该条件下种群不断交叉、变异与进化，获得不断改进的种群，得到最优解。 

采用多目标遗传算法，获得350组Pareto解集，多目标优化结果的Pareto解分布如图13所示。优化结果并不能使切削力与切削温度两个优化目标同时达到最小值，可以根据实际加工需求来选择参数组合。 

图13 Pareto解分布

在多目标优化过程中，考虑到切削力对表面粗糙度及几何精度的即时影响更为显著，在实际加工中，切削力对表面粗糙度、几何精度的即时影响更直接，需优先控制。因此优先以“切削力最小化”作为决策目标，以确保优化方案的加工可行性。选取插齿刀几何结构参数后角 α=9.77°，前角γ=14.98°，建立优化后刀具模型如图14所示。利用模型，设置加工工艺参数切削速度v=327mm/s进行仿真计算，得到优化理论值与仿真值对比如表9所示。

图14 优化后刀具模型

表9 优化理论值与有限元仿真值对比

两个指标的误差值分别为2.62%和4.67%，均小于5%，符合模型精度要求，表明经过响应面建立的二次多项式代理模型的各响应指标优化精度均满足要求。 

图15 主切削力对比曲线

图16 切削温度对比曲线

优化前后插齿加工主切削力与切削温度随时间变化曲线如图15、图16所示。可以看出，优化前后主切削力变化趋势基本一致，但优化后切削力波动范围值明显减小，且峰值降低。主切削力降低可以降低刀具振动，为提高齿轮制造精度提供参考。 

图17 优化后切削温度图

前刀面切削温度如图17所示。可以看出，优化前后切削温度变化趋势基本一致，均在0.05s后切削温度逐渐升高，在0.09s时出现最大值，且优化后最大值较小。在之后的切削过程中，优化后的切削温度小于优化前的切削温度，切削温度降低能减少因高温带来的加工误差，理论上提高齿轮加工精度。

对比优化前后的主切削力与切削温度，如表10所示。可以看出，优化后的刀具切削加工，得到的主切削力峰值降低了22.4%，切削温度峰值降低了15.1%，插齿加工的参数优化效果明显。

表10 优化前后结果对比

以新型双点接触内齿轮为对象，提出了一种专用加工插齿刀的齿廓设计与啮合面推导方法，揭示了前角-切削速度耦合作用于切削性能的主导影响规律，实现了刀具几何参数与工艺参数的协同优化，为双点接触内齿轮插齿刀的设计与工程应用提供理论参考。主要结论如下。

(1)设计了双点接触内齿轮插齿刀基本齿廓，根据齿轮齿面成形原理，推导了其啮合方程与啮合齿面方程；通过MATLAB和UG软件建立了插齿刀三维实体模型，并完成了刀具结构设计。

(2)基于响应曲面法对插齿刀几何参数(α、γ)与加工参数(v)进行了试验设计，建立了后角α、前角γ和切削速度v与主切削力F、切削温度T之间的函数模型，通过方差分析验证了模型的精度，通过响应曲面图分析各参数及其交互作用对主切削力与切削温度的影响，结果表明，前角与切削速度(γ-v)的交互作用对切削力与切削温度影响最显著。 

(3)采用多目标遗传算法对建立的代理预测模型进行优化，获得了插齿刀后角α、前角γ和切削速度v在一定范围内的最优组合，优化结果对应的主切削力与切削温度预测值与有限元仿真验证值相比，误差控制在5%以内，验证了代理模型的可靠性。有限元仿真验证表明，采用优化后的几何参数和工艺参数，较优化前显著降低了主切削力与切削温度，研究可为双点接触内齿轮插齿刀几何参数选择与加工工艺参数设定提供理论指导，但实际加工性能需通过后续切削力与温度实验进一步验证。