齿轮齿面与齿条齿面在任意转角下均满足啮合方程式 (30)，并且处于线接触状态。啮合瞬时接触线在斜齿轮定坐标系O₁x₁y₁z₁的表达式为

令σ₀+μ+θ+φ=t，观察啮合方程可知，在转角φ一定的情况下，传动比i(φ)也为定值，因此方程等式右侧为定值，所以t的值在此时也可看为定值，将t代入式(37)中，得到:

由式(38)可知，当齿轮转角φ一定时，x₁、y₁、z₁都是关于φ的一次线性方程，因此x₁、y₁、z₁可以用任意其余两个变量一次线性表示，由此可以得出齿轮齿条啮合时瞬时接触线为一条直线。在Matlab软件中，根据表1~表3中的相关参数，对部分变传动比阶段齿面瞬时接触线进行分析，分析结果用瞬时接触线的方向向量来表示:

式中:i为齿厚方向单位向量；j为齿高方向单位向量；k为齿宽方向单位向量。

表1 斜齿轮参数设置表

表2 齿条参数设置表

表3 传动比参数设置表

表4 部分齿面接触线方向向量

表4是部分齿面接触线方向向量。分析表中数据，无论是变传动比还是定传动比阶段，瞬时接触线均为直线，故后续选取有代表性的变传动比阶段进行齿面接触线变化趋势研究。

在斜齿轮定坐标系O₁x₁y₁z₁中，齿条与斜齿轮在任意给定时刻的瞬时接触线所共同构成的轨迹，就是它们的啮合面。将参数代入式(37)，得到右侧工作齿面在整个啮合过程中的完整啮合面，结果如图6所示。

图6 右侧工作齿面啮合面

由图6可以看出，变传动比斜齿轮齿条副定传动比阶段的啮合面均为直平面，变传动比阶段的啮合面为曲面。图7所示为不同传动比阶段的啮合轨迹与瞬时接触线，由于此种类型的斜齿条齿数较多且关于中间某轴平面对称，因此选取齿条右侧具有代表性的变传动比阶段(φ1~φ2)作详细说明与分析，如图7(b)所示。

图7 不同传动比阶段的啮合轨迹与瞬时接触线

由图7可知，在定传动比阶段，瞬时接触线为直线，啮合轨迹为直线，啮合面为平面；在变传动比阶段，瞬时接触线仍为直线，啮合轨迹为曲线，啮合面为曲面。

法向模数m_n、分度圆螺旋角β、法向压力角α_n、轴交角Σ和法向变位系数x_n是设计变传动比螺旋齿轮齿条副的关键参数，目前选择主要依靠技术人员的经验和定性分析。为此，本节将分析五个参数对齿面瞬时接触线方向向量的影响规律。接触线长度、啮合区域大小的变化同时也是反映后续齿面接触应力变化的两个重要特征。瞬时接触线长度的计算式为

式中:x_min和x_max、y_min和y_max、z_min和z_max分别为某一转角时刻瞬时接触线在x、y、z坐标轴下起始点和终止点的坐标。瞬时接触线的平均长度为

将φ_max、φ_min代入式(41)中，即可求得变传动比斜齿轮齿条副瞬时接触线平均长度为L=20.3448mm。

啮合区域的判断以表1、表2的参数为基准，在齿宽-齿高坐标系下绘制出二维啮合区域及接触线，将此时标准参数下的啮合区域大小以及接触线的位置作为基准参照，从而对比其他参数下啮合区域的大小和位置变化。

图8展示了标准参数下的啮合区域与齿面接触线。图中红框表示在标准参数下，齿宽-齿高平面内啮合区域的大小，以此来对比不同参数下的啮合区域的变化情况。

图8 标准参数下啮合区域与齿面接触线

(1)法向模数m_n对齿面接触线的影响利用式(37)、式(40)和式(41)，其他设计参数不变，斜齿轮的法向模数m_n依次取2.00mm、2.50mm、2.60mm，分别求解齿面接触线向量，结果如表5和图9所示，计算出的不同法向模数下齿面接触线平均长度如表6所示。 

表5 法向模数mn对齿面接触线向量的影响

图9 不同法向模数下齿面接触线对比图

表6 不同法向模数下齿面接触线平均长度

由表5、图9、表6可知，随着法向模数的增大，同一转角φ对应的齿面瞬时接触线沿齿高方向从齿底向齿顶移动；在齿宽-齿高坐标系下，啮合区域面积随着法向模数的增大而增大；瞬时接触线的平均长度也随着法向模数的增大而变长。 

法向模数增大时，齿面接触面积增大，接触线长度增长，齿厚增大，有助于提高变传动比齿轮齿条副的承载能力。但模数过大会导致齿顶负载更为集中，易产生齿顶磨损或齿面剥离，发生疲劳破坏，同时也可能影响齿轮齿条副的空间布局与传动效率。

(2)分度圆螺旋角β对齿面接触线的影响利用式(37)、式(40)和(41)，其他设计参数不变，将斜齿轮的分度圆螺旋角β依次设定为25°、30°、32°，分别求解齿面接触线向量，结果如表7和图10所示，计算出的不同螺旋角下齿面接触线平均长度如表8所示。

表7 分度圆螺旋角β对齿面接触线向量的影响

图10 不同分度圆螺旋角下齿面接触线对比图

表8 不同分度圆螺旋角下齿面接触线平均长度

由表7、图10、表8可知，随着螺旋角的增大，同一转角φ对应的齿面瞬时接触线沿齿高方向从齿底向齿顶移动；在齿宽-齿高坐标系下，啮合区域面积随着螺旋角的增大而减小；瞬时接触线的平均长度也随着螺旋角的增大而变短。分度圆螺旋角增大，齿面接触面积减小，接触线长度变短，齿厚减小，降低了变传动比齿轮齿条副的承载能力。但适当的增大螺旋角可以改善啮合的平稳性，减少噪声与振动。

(3)法向压力角α_n对齿面接触线的影响利用式(37)、式(40)和式(41)，其他设计参数不变，将斜齿轮的法向压力角α_n依次取18°、22°、23°，分别求解齿面接触线向量，结果如图11和表9所示，计算出的不同法向压力角下齿面接触线平均长度如表10所示。由图11、表9、表10可知，随着法向压力角的增大，同一转角φ对应的齿面瞬时接触线沿齿高方向从齿底向齿顶移动；啮合区域面积随着法向压力角的增大而增大；瞬时接触线的平均长度随着法向压力角的增大而变长。法向压力角增大，接触线长度增加，提高了承载能力与传动平稳性。但压力角过大会致使啮合区主要集中在齿顶部分，导致齿顶变尖，齿根变粗壮，齿顶应力更为集中。

图11 不同法向压力角下齿面接触线对比图

表9 法向压力角αn对齿面接触线向量的影响

表10 不同法向压力角下齿面接触线平均长度

(4)轴交角Σ对齿面接触线的影响

利用式(37)、式(40)和式(41)，其他设计参数不变，将斜齿轮与齿条的轴交角Σ依次设定为17°、21°、23°，分别求解齿面接触线向量，结果如图12和表11所示，计算出的不同轴交角下齿面接触线平均长度如表12所示。由12、表11、表12可知，随着轴交角的增大，同一转角φ对应的齿面瞬时接触线沿齿高方向从齿底向齿顶移动；啮合区域面积未发生明显变化；瞬时接触线的平均长度基本不变化。轴交角越大，斜齿轮与齿条的啮合方向偏向齿面法线方向，导致接触线靠近齿顶区域，会降低啮合的轴向力，增大节圆半径，最终可能会提高承载能力。但是轴交角过大会导致啮合不平稳，接触不均匀，降低传动效率。

(5)法向变位系数x_n对齿面接触线的影响利用式(37)、式(40)和式(41)，其他设计参数不变，将斜齿轮的法向变位系数x依次设定为0.3414、0.6827、0.7396，分别求解齿面接触线向量，结果如图13和表13所示，计算出的不同轴交角下齿面接触线长度如表14所示。

图12 不同轴交角下齿面接触线对比图

表11 轴交角Σ对齿面接触线向量的影响

表12 不同轴交角下齿面接触线平均长度

图13 法向变位系数下齿面接触线对比图

表14 不同法向变位系数下齿面接触线平均长度

由图13、表13、表14可知，随着法向变位系数的增大，同一转角φ对应的齿面瞬时接触线沿齿高方向从齿底向齿顶移动；在齿宽-齿高坐标系下，啮合区域面积随着法向变位系数的增大而增大；瞬时接触线的平均长度也随之变长。法向变位系数增大时，齿面接触面积增大，接触线长度增长，齿厚增大，齿条能够承受更大的载荷，提升了其承载能力与耐用性。但变位系数过大会导致齿顶过尖，更易发生断裂等疲劳破坏；且会影响齿轮与齿条之间的相对位置，需要调整中心距或采用特殊的装配方式。综合考虑上述不同设计参数对接触线的影响规律，在实例参数的基础上，给出变传动比齿轮齿条副主要设计参数的选取范围如表15所示。

表15 变传动比斜齿轮齿条副主要设计参数的选取范围

(1) 建立汽车转向器变传动比斜齿轮齿条副数学模型，推导出齿面瞬时接触线方程。

(2)在定传动比阶段，齿面瞬时接触线为直线，啮合面为平面；在变传动比阶段，齿面瞬时接触线仍为直线，啮合面为曲面。

(3)分析法向模数m_n、分度圆螺旋角β、法向压力角α_n、轴交角Σ和法向变位系数x_n对瞬时接触线及啮合区域的影响：法向模数m_n增大，平均接触线长度变长，啮合区域变大；分度圆螺旋角β增大，平均接触线长度变短，啮合区域变小；法向压力角α_n增大，平均接触线长度变长，啮合区域变大；轴交角Σ增大，平均接触线长度基本不变，啮合区域基本不变；法向变位系数x_n增大，平均接触线长度变长，啮合区域变大。最终根据影响规律给出主要设计参数的选取范围，为变传动比斜齿轮齿条副的设计选型提供了参考。

作者简介：曹栋，男，2002年生，硕士研究生。主要研究方向为齿轮加工技术。