乘用车转向器通常采用变传动比螺旋齿轮齿条副作为动力传动装置，该齿轮齿条副齿面接触应力大小和方向频繁地变化，易产生齿面裂纹、磨损等，因此探究变传动比螺旋齿轮齿条副的接触线分布规律、接触区域、接触应力理论计算模型并进行接触应力仿真分析验证具有重要的工程实际意义。 

关于螺旋齿轮副接触特性分析，有许多研究方法可以借鉴。LIANG等针对小角度交错轴螺旋齿轮的啮合传动性能展开研究，提出了以空间曲线作为接触线时的共轭齿形构建方法。CHOE等聚焦渐开线螺旋齿轮的啮合过程，通过以空间直线构建接触线的研究，揭示了接触线的动态演变特征。对于变传动比螺旋齿轮齿条副，ZHENG等创新性地构建了二阶连续分段传动比曲线模型，系统探讨了少齿数齿轮齿条副的接触特性。王祉凡等在对汽车非圆齿扇齿条啮合过程研究中，从空间啮合原理出发，推导其齿面方程并求解齿面接触线、啮合面以及啮合轨迹，发现了工件几何参数对瞬时接触线的影响规律。 

齿轮啮合齿面接触应力研究主要以赫兹弹性接触理论作为依据。针对不同的齿轮副，由于接触特性不同，接触应力计算模型各有特点。王明旭等利用赫兹理论计算了大模数重载齿轮齿条的接触强度。陈华平等基于开式齿轮传动的特点和赫兹公式计算出齿轮齿条接触应力，并结合经验磨损系数等要求提出了磨损量的计算方法。魏冰阳等建立起了数值齿面与差齿面ease-off模型，利用势能法、变形协调方程与拟赫兹接触分析计算出齿面载荷与边缘接触应力。丁国龙等对汽车转向器摇臂轴非圆齿扇的工作齿面易磨损等现象，提出一种非圆齿扇齿条副接触应力理论计算模型。

利用仿真分析软件验证齿轮副接触应力理论计算的准确性是一种有效途径。张宇等采用有限元仿真软件，对弧齿锥齿轮和螺旋锥齿轮开展了轮齿加载接触分析，结果验证了双重螺旋法切齿原理的正确性。周驰等基于接触有限元分析原理，验证有限元模型的准确性与可靠性。林超等利用有限元仿真软件，深入剖析了各类不同结构参数对于齿面接触应力以及齿根弯曲应力所产生的影响。

本文通过变传动比螺旋齿轮齿条副的啮合特性分析研究，发现其啮合区域与齿面接触线特征。基于赫兹接触理论构建了该传动副的接触应力计算模型，推导出具有工程应用价值的接触应力计算公式。通过建立有限元仿真模型验证赫兹理论模型的准确性，为变传动比螺旋齿轮齿条副的优化设计提供了可靠的理论依据和分析方法。 

变传动比螺旋齿轮齿条副是一种特殊转向系统，它的核心机构就是不同位置下齿距、齿厚、模数、压力角、螺旋角均不相等的齿条，这种变化趋势主要体现在其传动比的变化上。本文变传动比螺旋齿轮齿条副的多项式传动比曲线函数为:

式中:i_min、i_max分别为变速比曲线的最小传动比与最大传动比，φ为不同函数段传动比变化过渡转角值。

本文齿条成中心对称分布，两侧传动比变化趋势相同。图1中阴影部分为齿槽部位，沿右侧齿槽数从1~9，1号为中间齿槽，齿数呈“密-疏-密”型分布；齿宽方向螺旋角呈“小-大-小”的变化趋势。如图1所示。

图1 齿条特征示意图

建立变传动比螺旋齿轮齿条副空间运动坐标系如图2所示。 

图2 变传动比螺旋齿轮齿条副空间啮合坐标系示意图

图中坐标系σ={O；x，y，z}为渐开线斜齿轮与非标齿条的原始参考坐标系；σ⁽¹⁾={O₁；x₁，y₁，z₁}为固定于渐开线斜齿轮的齿轮定坐标系，其中y1轴与y轴相重合，z₁轴与z轴、x₁轴与x轴之间的夹角为Σ，即为斜齿轮与齿条的轴交角；坐标系σ^(1′)={O_(1′)；x_(1′)，y_(1′)，z_(1′)}为与渐开线斜齿轮相固连的齿轮动坐标系，y_(1′)与y₁之间的夹角φ为任意时刻渐开线斜齿轮绕自身轴线旋转的角度；σ⁽²⁾={O₂；x₂，y₂，z₂}为固定于非标齿条的齿条定坐标系，其中y2轴与y轴相重合，z₂轴与z轴、x₂轴与x轴相互平行，原点O1与O2之间的距离a即为渐开线斜齿轮与齿条之间的中心距，坐标系σ^(2′)={O_(2′)；x_(2′)，y_(2′)，z_(2′)}为与非标齿条相固连的齿条动坐标系，其中σ^(2′)与σ⁽²⁾之间沿x₂轴方向的距离S为齿条在任意转角下的位移。

传动过程中节圆半径r(φ)与变传动比i(φ)之间的关系为:

式中:r₀为齿轮分度圆半径，Σ为齿轮齿条轴交角，β为齿轮分度圆螺旋角。将斜齿轮动坐标系σ^(1′)转换到齿条动坐标系σ^(2′)中，其坐标旋转矩阵为:

斜齿轮动坐标系σ^(1′)转换到齿条动坐标系σ^(2′)的坐标变换关系为:

变传动比螺旋齿轮齿条副中齿轮为标准渐开线斜齿轮，渐开线斜齿轮的齿面方程为:

式中:“+”号为斜齿轮右侧齿面方程，“-”号为斜齿轮左侧齿面方程，μ为渐开线偏移角，μ取值范围为(tan(arccos(r_b/r_f))，tan(arccos(r_b/r_a))，r_a为齿顶圆半径，r_f为齿根圆半径，σ₀为渐开线起始偏移角，p为渐开线斜齿轮螺旋参数，p_θ为在旋转角度为θ时，端面渐开线沿轴z_1′方向所移动的距离，p=r_b/tanβ_b，β_b为基圆螺旋角。依据齿轮传动的啮合原理可知，啮合点的相对运动速度与该点的法向量垂直，二者共轭齿廓曲面一定满足啮合方程:

式中:n_1′为啮合点的法向量，V_1′2′为齿条齿轮的相对运动速度。齿轮与齿条的相对运动速度为:

式中:ω_1′为渐开线斜齿轮旋转角速度，ω_2′为齿条旋转角速度，ω_1′2′为齿条对于斜齿轮的旋转角速度，ξ为O_1′O_2′对应的向量，可表示为:

因此，得到最终相对速度为:

曲面啮合点法矢量为:

根据n_1′·V_1′2′=0，通过计算得到右侧齿面啮合条件方程为:

将式(14)与式(4)、式(5)联立得齿条右侧工作齿面参数表达式为:

同理可得左侧啮合方程为:

变传动比螺旋齿轮齿条副啮合过程中，齿轮齿面与齿条齿面在任意转角下均满足啮合方程式(14)，并且处于线接触状态。啮合瞬时接触线在斜齿轮定坐标系σ(1)的表达式为:

根据MATLAB中求解所得到的任意时刻的接触线方向向量坐标可得瞬时接触线长度L(φ)为:

式中:X_1min、X_1max为某一转角时刻瞬时接触线在X坐标系下起始点和终止点的坐标，即μ=tan(arccos(r_b/r_f)、μ=tan(arccos(r_b/r_a)时取得起始点与终止点坐标。Y₁、Z₁同理。在定坐标系σ(1)中，齿条与齿轮在任意时刻的瞬时接触线所共同构成的轨迹，实际上就是它们的啮合面。将相关参数代入式(15)中，即可得到右侧工作齿面在整个啮合过程中的完整啮合面，如图3所示。实例参数如表1~表3所示。

表1 齿轮参数设置表

表2 齿条参数设置表

表3 传动比参数设置表

图3 工作齿面啮合面

由图3可以看出，无论是最小定传动比阶段还是最大定传动比阶段，变传动比螺旋齿轮齿条副的啮合面均为直平面，变传动比阶段的啮合面为曲面。同时在齿宽-齿高坐标系下绘制出二维啮合区域及接触线，对其进行分析。

图4 齿宽-齿高坐标系下的啮合区域与齿面接触线

在图4中不难看出，在齿宽-齿高坐标系下的啮合区域呈平行四边形，齿面接触线呈直线，这些结论为后面建立变传动比齿轮齿条副的赫兹模型打下基础。

赫兹理论求解弹性体的线接触问题中，理论推导如图5所示，设长度为L₀，半径分别为R₁和R₂的两个平行接触的圆柱体在加载之前为线接触，两个圆柱体各自的半径，分别与两齿廓在节点位置的曲率半径数值相等。在其中一圆柱体上施加法向力F_n0之后，二者间的接触面在F_n0的作用下挤压变成一个宽度为2S₀的矩形面积，两圆柱体间的线接触会转变为面接触。选取其端截面来展开分析，该法向力在这一特定截面上所产生的应力呈现出椭圆形的分布状态。

图5 赫兹理论线接触模型 

标准线接触赫兹应力公式为:

式中:F_n0为法向力，L₀为两弹性接触体接触线长度，R_Σ为接触节点的当量曲率半径，，最大应力σ_H0即为线接触赫兹应力。

对于变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触而言，可看作是两圆柱体线接触模型。上一小节中线接触模型为两平行圆柱体接触，而变传动比螺旋齿轮齿条副实际工作啮合过程中两物体间存在轴交角Σ，且齿面接触线的长度和方向处于持续动态变化中，所以传统赫兹理论线接触模型无法满足变传动比螺旋齿轮齿条副的赫兹应力计算需求。因此，必须重新构建一个合适的模型，从而精确地计算出其应力状况。研究中发现变比齿轮齿条副啮合接触区域呈平行四边形，以此为基础建立一个新的变比齿轮齿条副赫兹线接触模型如图6所示。

图6 变传动比螺旋齿轮齿条副赫兹理论线接触模型 

图6中，圆柱体表示渐开线斜齿轮，蓝色平面表示齿条平面，L₁表示二者间接触线平均长度，ρ_2′表示任意截面的主曲率。当齿条与渐开线斜齿轮接触时，可将接触区域简化为底长为2S₁，高为L₁的平行四边形区域。为了探究轴交角Σ对于L1的影响，根据上述实例，利用式(15)、式(18)和式(19)，在轴交角Σ为19°的情况下，再分别取轴交角Σ为15°和23°的两种情况，求解齿面接触线如图7所示。

图7 齿面接触线

通过仿真结果可以看出，随着轴交角的增大，接触线平均长度基本不变，啮合区域面积未发生明显变化，接触区域形状并未发生改变；但接触区域沿齿高方向从齿根向齿顶移动。对于经典赫兹理论线接触模型，其计算公式为:

齿条的曲率半径可看作无穷大，综合本小节内针对变传动比螺旋齿轮齿条副赫兹接触模型所展开的分析，能够明确变传动比螺旋齿轮齿条副的接触应力计算公式具体为:

在式(21)的基础上，通过考虑各载荷系数等影响因素可以得到，变传动比螺旋齿轮齿条副接触疲劳强度校核式为:

式中:u为齿数比，对于齿轮齿条而言u可以看作无穷大；L₁为瞬时接触线长度，d₁为节圆直径。 

对于齿轮齿条的强度校核而言，当接触应力超过材料极限时会导致疲劳破坏，因此一般取啮合区域内界点和节点处的接触应力的最大值来进行强度校核。在齿轮齿条啮合过程中，当传动比较小时，啮合线更短，此时两者之间的接触应力更大。表4给出位于最大接触应力下，及传动比转角φ=400°时的变传动比齿轮齿条副的材料参数。

表4 变传动比螺旋齿轮齿条副材料参数表

然后计算出式(23)中的各项影响系数:K_A为使用系数，考虑到变传动比螺旋齿轮齿条副工作中产生轻微震动，取K_A=1.1；K_V为动载系数，是考虑传动啮合过程中，轮齿啮合震动产生内部附加动载荷影响的系数:

K_Hα为齿间载荷分配系数，它是一个用于考量同时参与啮合的轮齿之间载荷分配不均衡所产生影响的系数，取K_Hα=1.1；K_Hβ为齿向载荷分布系数，它是一个专门用于考量沿齿宽方向上载荷分布不均匀情况的系数:

带入设计参数计算得K_Hβ=1.847。Z_H为节点区域系数，是考虑节点啮合处端面曲率与法面曲率关系的系数:

式中:β_b为基圆螺旋角，α_t为分度圆端面压力角，α_t′为节圆端面压力角，代入参数得Z_H=2.24。ZE为材料弹性系数，是考虑配对齿轮材料泊松比与弹性模量E对接触应力影响的系数:

考虑变传动比螺旋齿轮齿条副的材料，取Z_E=189.8。Z_ε为接触强度的重合系数，是专门用来考虑啮合过程中纵向重合度与端面重合度在齿面接触应力方面所带来影响的一个系数:

式中:α_at为齿顶圆压力角，h^∗_an为法向齿顶高系数，x_n为法向变位系数，综合以上数据求得Z_ε=0.81。Z_β为接触强度的螺旋角系数，是考虑螺旋角对齿面接触应力的影响:

取螺旋角β=28.5°，那么Z_β=0.93745。Z_LVR为润滑油膜影响系数，查表取Z_V=1.05、Z_L=1.08、Z_R=0.96。

Z_W为工作硬化系数，是考虑经过光整加工后小齿轮对大齿轮的硬化作用，提高齿轮解除疲劳强度影响的系数，查表取Z_W=1.2。ZX为尺寸系数，是考虑到计算齿轮模数大于试验齿轮模数从而对解除疲劳强度影响的系数，查表取Z_X=1。依据ISO6336-6:2019确定影响系数K_A、K_V、K_Hα、K_Hβ；依据ISO6336-2:2019确定影响系数Z_H、Z_E、Z_ε、Z_β、Z_LVR、Z_W、Z_X。将设计参数、影响系数以及表4中的参数代入式(23)中计算齿面接触应力:

通过理论计算可得，在实例参数下变传动比齿轮齿条副传动过程中最大齿面接触应力σ_H为859.5939MPa。 

在实际工程应用中，变传动比螺旋齿轮齿条副易发生疲劳破坏，本节将研究4种设计参数：法向模数m_n、分度圆螺旋角β、法向压力角α_n、轴交角Σ对变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触应力的影响。

(1)法向模数

m_n对变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触应力的影响:于m_n1=2.0、m_n2=2.25、m_n3=2.5、m_n4=2.6，分别计算出不同法向模数下的接触应力，分析结果如图8所示。

图8 不同法向模数下的接触应力 

由图8可知，在不同传动比下的任意啮合时刻，法向模数越大，齿面接触应力越小。

(2)分度圆螺旋角β对变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触应力的影响:在不同传动比下的任意啮合时刻，取β分别等于β₁=25°、β₂=28.5°、β₃=30°、β₄=32°，分别计算出不同分度圆螺旋角下的接触应力，分析结果如图9所示。

图9 不同分度圆螺旋角下的接触应力 

由图9可知，在不同传动比下的任意啮合时刻，分度圆螺旋角越大，齿面接触应力越大。

(3)法向压力角α_n对变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触应力的影响:在不同传动比下的任意啮合时刻，取αn分别等于α_n1=18°、α_n2=20°、α_n3=22°、α_n4=23°，分别计算出不同法向压力角下与接触应力，分析结果如图10所示。

图10 不同法向压力角下的接触应力 

由图10可知，在不同传动比下的任意啮合时刻，法向压力角越大，齿面接触应力越小。

(4)轴交角∑对变传动比螺旋齿轮齿条副齿面接触应力的影响：在不同传动比下的任意啮合时刻，取Σ分别等于Σ₁=17°、Σ₂=19°、Σ₃=21°、Σ₄=23°，分别计算出不同轴交角下与接触应力，分析结果如图11所示。

图11 不同轴交角下的接触应力 

由图11可知，在不同传动比下的任意啮合时刻，交角越大，齿面接触应力越小。